chapitre 7:

Le théorème de Thalès

L'histoire du théorème de Thalès

l'histoire bis du théorème de Thalès.

Une application du théorème en animation

I) Le théorème de Thalès

Deux configurations de base

a) la configuration classique

b) la configuration papillon

Comment utilise-t-on le théorème de Thalès?

1. On énonce le théorème et on écrit les rapports égaux.

2. On remplace les longueurs connues par leurs valeurs numériques et on raye le

rapport inutile.

3. On réalise un produit en croix, et on utilise la quatrième proportionnelle.

1) Phrase d'introduction de l'énoncé: plusieurs rédactions possibles.......

1 ère possibilité: les points A,M,B et A,N,C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

2 ème possibilité: dans un triangle ABC, si M est un point appartenant à la droite (AB),
N un point appartenant à la droite (AC) et (MN) est parallèle à (BC).

3 ème possibilité: les droites (BM) et (CM) sont sécantes en A, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles

2) les égalités de fractions......

Pour écrire les rapports égaux :

1. On repère le point d'intersection des deux droites non-parallèles.
2. On choisit l'une des deux droites qui passe par ce point.
3. En restant sur cette droite et en partant toujours de ce point on écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande.
4. On fait de même sur l'autre droite qui passe par ce point.
5. On écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande sur les deux droites parallèles.

3) Résolution

En général, l'un des trois rapports sera inutile pour résoudre l'exercice.

À partir des deux autres rapports, on peut calculer le côté recherché en effectuant, par exemple, un produit en croix.

II) Application

exemple 1

Énoncé :

Calculer la longueur du segment [IP] sachant que

KI = 2,2 cm, JI = 3 cm, IQ = 4,5 cm et que les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.

Solution :

Les droites (KP) et (JQ) sont sécantes en I et les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a:

exemple 2

Énoncé :

On donne : AC=3cm , AD=5cm et AE=4cm

Calculer BD.

Solution:

Les triangles ABC et ADE sont en situation de Thalès car :

les points A,B,D ainsi que les points A,C,E E sont alignés
les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

Remarque:

Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici BD ) dans l'égalité des rapports.
En effet, [BD] n'est pas un côté de l'un des triangles ABC ou ADE . Toutefois, il sera facile de calculer BD une fois la longueur AB connue.

L'égalité des deux premiers quotients donne :

exemple 3

Énoncé :

La figure est similaire à celle de l'exercice précédent mais, cette fois, on connaît :

BD = 8cm , AE = 9cm et AC = 4cm .
On cherche à calculer la longueur AB.

Solution:

Les triangles ABC et ADE sont en situation de Thalès car :

les points A,B,D ainsi que les points A,C,E E sont alignés
les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connaît ni AD ni AB (que l'on recherche).

III) Réciproque du théorème de Thalès

Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)

Si A,B,C,D,E sont cinq points tels que les points A,B,D et les points A,C,E sont alignés dans le même ordre

alors, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Remarques

exemple 1

Montrer que les droites (SV) et (TU) sont parallèles.

Les droites (TS) et (UV) sont sécantes en R.

solution:

On calcule séparément

D'une part

D'autre part

donc

De plus, les points R, S, T et R, V, U sont alignés dans cet ordre.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (SV) et (TU) sont parallèles.